详述弹性力学问题的求解方法-位移法

弹性力学空间问题的基本方程有15个方程，分别为3个平衡方程，6个几何方程和6个物理方程，未知数也是15个，分别为3个位移分量，6个应力分量和6个应变分量。只要求出这15个未知量，就可以解决工程中的强度（依据应力、应变）、刚度（依据应变、位移）和稳定性（临界载荷可由应力给出）。然而，问题在于平衡方程和几何方程为微分方程，这给求解带来了极大的挑战性。

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

     在力学分析中有一类非常有效的“以退为进” 分析方法，在面对一个非常棘手的问题时，先通过一定的假设将问题简化，先求解简化问题，然后再逐步增加问题的难度，最终达到解决问题的目的。假设有一维弹性力学问题，除σ_x、ε_x、u、f_x不为0以外，其它量均为0，此时弹性力学基本方程简化为：

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

     先积分平衡方程，得σ_x=-f_xx+C₁，将其代入物理方程，得ε_x=(-f_xx+C₁)/E，再将应变代入几何方程，得u=(-f_xx²)/2E+(C₁x)/E+C₂。其中C₁、C₂为积分常数，需要通过边界条件来确定。

图1 一维弹性力学问题：立柱

     设有高为h的立柱，如图1所示，密度为ρ， 则体力f_x=-ρg，下端为固定端，上端受均布载荷q作用。此时写边界条件，如下：

上端x=h处：

代入应力边界条件，有

     在固定端上写位移边界条件，由于位移分量除u 以外，均为0，在边界上有

下端x=0处：

u=0（v=0和əv/əx=0自然满足）

代入位移边界条件，有

    因此，将常数C₁、C₂带回解中，得

求解完毕。

     在数学中，求解方程组通常可采用消元法，先得到只有一个未知数的方程并求解，然后逐一代回原方程组得到其它未知数。对于一般弹性力学问题，也可以采用消元法，只不过弹性力学方程组很难消元至只含有一个未知量的方程，但消元的思想仍然可以借鉴。

     我们把弹性力学未知量分为应力分量、应变分量和位移分量三类，如果将应力和应变都用位移表示，使得方程中只含有位移未知量，达到消元的目的并求解，这种方法称之为位移法；当所有的未知量均由应力分量表示，使得方程中只含有应力未知量，达到消元的目的并求解时，称为应力法。所谓的位移法和应力的关键在于选择位移，还是应力作为未知量。还有些题目，如温度应力，将问题分解为两步求解：第一步不考虑实际边界，只考虑温度引起的变形，采用位移法；第二步，叠加应力，以满足真实的边界条件，采用应力法。这种问题混合使用了位移法和应力法，被称为混合法。

     平面问题（包括平面应力问题和平面应变问题）求解在弹性力学中占有重要地位，以下我们以平面应力问题为例，说明二维平面问题的求解。对于平面应力问题，有

     弹性力学基本方程简化为

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

     下面分别讨论利用位移法和应力法求解上述平面应力问题的方程组。对于平面应变问题，只需要将弹性常数E变换为外E/1-μ²，将μ转换为μ/1-μ。