详述弹性力学问题的求解方法-应力法

    下面我们来考虑如何利用应力法求解二维弹性力学问题，目标为将所有未知量都用应力表示，即所有方程中，不再出现应变分量和位移分量。依然考虑平面应力状态下的基本方程，如下所示：

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

     其中，平衡方程中只含有应力分量，无需过多关注。下面重点来看几何方程和物理方程。首先看几何方程，从方程形式看，2个位移分量决定了3个应变分量，那么3个应变分量之间很可能不完全独立，那么它们应该满足什么关系呢？为了说明3个分量之间的关系，我们进行如下推导：

    请关注最后导出来的式(13)，这个式子把三个应变分量写在同一个方程中，明确无误的表明了3个应变分量并非完全独立，它们就像一条绳上的3个蚂蚱，只要有一个变动，另外的两个也可能跟着发生变动。3个应变分量满足的这一关系称为变形协调方程（或相容方程），这一关系最早由圣维南于1864年导出，1866 年，贝尔特拉米（Eugenio Beltrami, 1835-1900.意大利著名数学家）对其进行了严格证明。变形协调方程说明了真实弹性体发生变形时需要满足的条件，即某一点的应变分量满足上式时才是真实的，如果不满足上式, 对于真实的弹性体，很可能发生了断裂、质点堆叠等不可预估的情形，超出了弹性力学的研究范畴。

     再回到平面问题基本方程，如果将物理方程代入变形协调方程，就可以得到用应力表示的变形协调方程，有

     现在已经看到，几何方程和物理方程已经转化为上式，完全由应力分量给出，与平衡方程

    一起组成方程组，3个方程（2个平衡方程+1变形协调方程）求解3个未知量（σ_x、σ_y、τ_xy），为封闭方程组。继续沿着消元的思想，利用平衡方程，还可以将变形协调方程中的τ_xy消去， 我们进行如下推导：

     上式为考虑了平衡方程的相容方程，只要找到上式的解，就可以利用平衡方程，求出τ_xy，再依据物理方程，求出应变分量，最后依据几何方程，求出位移分量。

     如果仍考虑图1所示的一维问题，仍有v=f_y=ə/əy=0，以及μ=0，上式将简化为

    由于，f_x=-ρg为常数，为ə²/əx²，积分后有

代入物理方程，得

再代入几何方程，有

考虑固定端位移边界条件，有

    还有两个未知数C₁和C₂，但是顶部应力边界条件只能写出一个方程，需要再补充一个应力边界条件。为此，考虑固定端，去掉约束后, 下端约束反力为ρgh+q，如

图2 固定端等效面

以下为应力边界条件：

上端：

下端：

联列两个应力边界条件，得

代入应力、应变、位移表达式，得

利用应力法求解也与前面的解一致。

     平面问题的求解在弹性力学中占有非常重要的地位，是弹性力学的重点内容。本文虽然推导了二维平面问题应力法和位移法的基本方程，但所举例子均为一维问题，没有真正涉及二维问题的求解，目的在于理解力法和位移法的求解过程。实际上，二维问题的求解难度要远远大于一维问题，时至今日，利用位移解析法求解二维问题的例子仍然很少。